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Aire totale d’une pyramide

Dernièrement, en classe, j’ai eu à traiter ce problème avec mes élèves.

À l’aide d’un cube de 15 cm d’arête, on construit une pyramide dont la base est une face du cube et dont le sommet est au centre de la face opposée de cette base.

Quelle est l’aire totale de cette pyramide ?

Il s’agit d’un problème classique où l’on demande aux jeunes de recourir à la relation de Pythagore afin de trouver une mesure manquante pour de calculer l’aire (ou parfois le volume) de ce solide.

Ce problème peut sembler facile, mais lorsqu’on commence à le résoudre les obstacles apparaissent rapidement.

L’aire de la base est vite réglée, car nous connaissons les dimensions du carré qui la constitue. Par contre, pour calculer l’aire latérale de la pyramide (4 triangles) nous n’avons pas toutes les mesure, car il manque l’apothème (hauteur d’un des triangles). Il est important de préciser aux élèves que celle-ci n’est pas 15 cm.

Je me suis amusé, à l’aide de GeoGebra, à modéliser ce solide. L’un des obstacles majeurs est l’incapacité de certains jeunes à se représenter des solides en trois dimensions. De plus sur cette image, le triangle rectangle n’est pas clairement identifié.

Le fait de pouvoir faire tourner le solide dans GeoGebra a permis à mes étudiants de s’approprier le problème. Je vous invite à consulter cette animation et à me laisser vos commentaires !

http://www.pascal-tic.org/activites/ggb/cubeno5.html

Les pyramides et Pythagore – Deuxième partie

Comment trouver la hauteur d’une pyramide lorsqu’on connait les mesures de la base et d’une arête ? J’ai déjà parlé de ce sujet dans un précédent billet. Pour illustrer mon propos, j’utilisais à l’ordinateur un applet, JMath3D, pour représenter la pyramide. Ainsi, je pouvais la manipuler librement afin que l’on puisse voir facilement les triangles rectangles. Cependant, lorsque l’élève n’a pas accès à un ordinateur, comment garder une trace de ce raisonnement ?

Je me suis amusé avec Inkscape à dessiner cette explication. Voici le résultat.

Illustration : Comment trouver la hauteur à partir d'une arête dans une pyramide.

J’insiste beaucoup sur le nommage des sommets lorsqu’on modélise des solides. On remarque ici la pertinence de cette pratique.

Les pyramides et Pythagore

En toisième secondaire, plusieurs élèves éprouvent des difficultés de perception spatiale, cette habileté à imaginer des formes géométriques et à se représenter des volumes à partir des dessins.

Dans l’un des exercices, que je propose à chaque année, je demande aux jeunes de calculer le volume d’une pyramide à base carré dans laquelle seulement les mesures d’une arête et de la base sont connues. Cette pyramide est représentée ci-contre. Je vous rappelle que pour trouver le volume d’une pyramide il faut connaître la hauteur de celle-ci ce qui représente le défi de ce problème.

Pour trouver la hauteur de la pyramide, il faudra utiliser le théorème de Pythagore à deux reprises. À deux reprises ? Plusieurs élèves confondent la mesure de l’arête à celle de l’apothème. Pour les aider à les distinguer, j’utilise JMath3D, un applet java pour visualiser des objet dans l’espace, pour pouvoir manipuler la pyramide. Ainsi, les deux pyramides ci-dessous peuvent être manipulées !

Voici comment calculer la hauteur de la pyramide à partir d’une de ses arêtes.

D’abord, si nous regardions cette pyramide. On remarque que le sgment AD, qui correspond à l’arête, mesure 6 cm et que le segment BC mesure 3,5 cm. Comme la base de cette pyramide est un carré, on sait aussi que les meesures des segments CD, DE et EB sont 3,5 cm.

Nous allons donc utiliser le triangle ADG pour calculer la mesure de l’apothème du triangle, soit le segment AG.

Ensuite, nous allons utiliser le triangle AGF pour calculer la mesure du segment AF : la hauteur recherchée.

J’utilise les deux applets JMath3D afin que les jeunes puissent manipuler les deux pyramides à leur guise. Dans plusieurs cas, c’est suffisant afin qu’ils puissent sentir le 3D. Dans le cas contraire, j’utilise aussi des pyramides réelles que les élèves peuvent manipuler.

Bonne visualisation !